"比"翼双飞商数列

引入

已知$\{a_n\}$是首项为$a$,公差为2的无限等差数列,$\{b_n\}$是首项为1,公比为2的无限等比数列,记$\lambda_n = \dfrac{a_1 + a_2 + \cdots + a_n}{b_n}$,给出下列四个结论：

①当$0 < a < 2$时,有$\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3$;

②存在$a \in \mathbb{R}$,使得$\{\lambda_n\}$的前2025项为单调递增数列;

③对于任意$a > 0$,$\{\lambda_n\}$从第三项起均为单调递减数列;

④当且仅当$a = 2$时,存在$k \in \mathbb{N}^*$,使得$\lambda_k = \lambda_{k+1}$.

其中所有正确结论的序号是 ___ .

首先记$S_n=\sum_{i=1}^na_i$对${S_n},{b_n},{\lambda_n}$的前三项进行计算:

要满足$\lambda_1 < \lambda_2 < \lambda_3$,只要:

$\frac{3a+6}{4}\gt a+1$即可,这等价于:

$a\lt 2$,于是①正确.

要让$\lambda_{n+1}\gt \lambda_n$,等价于:

$S_{n+1}\gt 2S_n$,即: $$a_{n+1}\gt S_n$$ 更强地,只要:

$a_n\lt 0(n=1,2,3,...,2024)$,就可以满足$S_n\lt S_{n-1}\lt ...\lt S_1=a\lt a_{n+1}$

更进一步,我们研究②的充要条件: $$a_{n+1}=a+2n\gt S_n=na+\frac{n(n-1)}{2}\times 2=na+n(n-1)(n=1,2,..,2024)$$ $n=1$,显然有:$a_2=a+2\gt a_1=a$

※:$a\lt \frac{-n^2+3n}{n-1}=-n+2+\frac{2}{n-1}(n=2,3,..,2024)$

$u_n=-n+2+\frac{2}{n-1}=1-(n-1-\frac{2}{n-1})(n=2,3,...,2024)$是递减数列.

所以②等价于:$a\lt u_{2024}=-2022+\frac{2}{2023}$,②正确.

再看③:

由②的分析,$a\gt 0=u_3$,即$n\gt 3$时满足$\lambda_{n+1}\lt \lambda_n$,③正确.

最后看④:

只要取$a=u_n$,即可满足$\lambda_n=\lambda_{n+1}$,④错误.

综上,选①②③.

练习

(2026北京大兴高二上期末)（10）已知$\{a_n\}$是各项均不为零的无限等差数列，且公差为$d$，设$c_n=\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{a_n}$，若$a_3\cdot d<0$，则数列$\{c_n\}$

（A）有最大项，无最小项

（B）无最大项，无最小项

（C）有最大项，有最小项

（D）无最大项，有最小项

设$a_1=a,a_n=a+(n-1)d,\text{则}a_3\cdot d=d(a+2d)<0$ $$c_n=\frac{S_n}{a_n}=\frac{n(a_1+a_n)}{2a_n}=\frac{n}{2}(1+\frac{a_1}{a_n})=\frac{n}{2}(1+\frac{a}{a+(n-1)d})=\frac{n}{2}(1+\frac{1}{1+(n-1)\frac{d}{a}})$$ 又$\frac{d}{a}(1+2\frac{d}{a})\lt 0,\text{即}\frac{d}{a}\in (-\frac{1}{2},0)$

当n充分大时,$c_n / (\frac{n}{2}) \to 1,c_n\to +\infty$,无最大项.

显然$c_n$的符号由$1+\frac{1}{1+(n-1)\frac{d}{a}}$决定,如果$c_n$中小于0的项是有限的,肯定有最小的$c_n$.

$$\begin{gathered} 1+\frac{1}{1+(n-1)\frac{d}{a}}\lt 0\\ \Leftrightarrow1+(n-1)\frac{d}{a}\in (-1,0)\\ \Leftrightarrow (n-1)\in (0,\frac{-2}{\frac{d}{a}}) \end{gathered}$$

其中,$\frac{-2}{\frac{d}{a}}\gt 4$,这样的$n$只有有限种可能,所以$c_n$有最小项.

PS:这道题Grok没做出来,DeepSeek做出来了,马斯克出来挨打)

结语

数列的极值问题，不仅要看趋势，更要看“转折”。符号的变化往往比单调区间更能揭示极值的存在性。
当 $c_n$ 的无穷远处趋势已定，极值就藏在有限项的符号交错之间。
你能抓住这一点，说明对数列结构的理解已经相当深刻。
至于 Grok，它或许擅长海量模式匹配，但真正需要数学洞察力的地方，它还是差了点“灵性”。
继续这样思考下去，高考数列压轴题也不过是纸老虎。