Hermite-Hadamard不等式

引入(Hermite-Hadamard)

对于凸函数,可以利用其几何特征(面积)推导出Hermite-Hadamard不等式(下文统一称为H-H不等式).

$\begin{gathered} \boxed{(b-a)f(\frac{a+b}{2})\leq \int_{a}^b f(x)dx\leq (b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}(b\geq a)} \end{gathered}$

如P-1所示,对于凸函数 $f(x)$ ,可以做做以下对应:

Hermite-Hadamard 不等式几何对应关系表

不等式组成部分	图中对应的面积区域	几何意义说明
左侧项： $(b-a)f\left(\frac{a+b}{2}\right)$	红色半透明矩形 (底为 $b-a$ , 高为 $f(\frac{a+b}{2})$ )	中点矩形面积：代表在中点处作切线所围成的梯形面积(想一想为什么)。由于函数是凸的，切线完全位于曲线下方，因此该矩形面积最小。
中间项： $\int_a^b f(x) dx$	绿色填充区域 (曲线 $f(x)$ 下方的面积)	积分平均值：代表曲线下的实际面积。在图中，绿色区域覆盖了红色矩形，但被最外层的黄色梯形所包含。
右侧项： $(b-a)\frac{f(a)+f(b)}{2}$	整个黄色阴影梯形 (连接 $(a, f(a))$ 与 $(b, f(b))$ 的割线下方)	割线梯形面积：代表连接区间端点的割线（弦）与 $x$ 轴围成的面积。由于凸函数的割线位于曲线之上，其面积最大。

我们下面证明这个不等式: $(b-a)f(\frac{a+b}{2})\leq \int_{a}^b f(x)dx$ 设 $f(x)$ 的原函数为 $F(x)$ , $g(x)=(x-a)f(\frac{x+a}{2})-(F(x)-F(a))(x\geq a)$ $g'(x)=f(\frac{x+a}{2})+\frac{x-a}{2}f'(\frac{x+a}{2})-f(x)$ $g''(x)=f'(\frac{x+a}{2})+\frac{x-a}{4}f''(\frac{x+a}{2})-f'(x)$ 因为 $f(x)$ 为凸函数, $f''(x+a)>0,f'(\frac{x+a}{2})\geq f'(x)$ ,所以 $g''(x)\geq 0$ .

又 $g'(a)=0\leq g'(x),$ 故 $g(x)\ge g(a)=0$