微积分基础导论:极限与导数

本文中涉及到的微积分服务于物理竞赛,侧重于实用性,而非严谨性

数列极限

引入

设 $a_n=1-10^{-n}(n=1,2,3,...)$

可以知道, $a_n$ 越来越接近于1,但是当 $n$ 无穷大时, $a_n$ 到底是不是1呢?

由此,我们由误差的角度,引入 $\epsilon-\N$ 语言:

ϵ−N语言

如果存在一个 $p\in \R$ 使得:对于任意的实数 $\epsilon\gt0$ ,都存在一个整数 $\N$ ,使得对于任意 $n\gt N$ , $|a_n-p|\lt\epsilon$ ,那么称 $p$ 为数列 $a_n$ 的极限,记作 $\lim_{n\to \infty}a_n=p$ .否则叫做数列 $a_n$ 没有极限

函数极限

引入

有了级数(数列)的极限,自然引出函数的极限.

当 $x\to 0$ 时, $f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 的值等于多少?

同理,引出 $\epsilon-\delta$ 语言

ϵ−δ语言

如果存在一个 $p\in \R$ 使得:对任意 $\epsilon\gt0$ ,若存在 $\delta\gt0$ ,使得当 $0\lt x_0-x\lt \delta$ 时, $|f(x)-p|\lt\epsilon$ ,则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左极限为 $p$ ,记作 $\lim_{x \to x_0^-} f(x)=p$

同理容易得到右极限的定义.

此外,如果 $\lim_{x \to x_0^-} f(x)=\lim_{x \to x_0^+} f(x)$ ,则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限为 $p$ ,记作 $\lim_{x \to x_0} f(x)=p$

以上的 ϵ−N语言/ϵ−δ语言不是本节的重点

好用的极限判断法则

夹逼定理

若 $f(x)\le g(x)\le h(x)$ ,且 $f(x),h(x)$ 极限存在且相同,则 $f(x),h(x),g(x)$ 极限存在且相同.

例1

(不严谨地)感受 $\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

由单位圆中面积大小关系,熟知 $\sin x\le x\le\tan x,x\in [0,\frac{\pi}{2})$

于是,有不等式 $\cos x=\frac{\sin x}{\tan x}\lt \frac{\sin x}{x}\lt 1,x\in (0,\frac{\pi}{2})$

因为 $\cos x,1$ 在0处的极限都是1,所以: $\boxed{\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1}$

极限运算法则

容易证明,四则运算的极限等于极限的四则运算:

若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=p_1,\lim_{x\to x_0}f(x)=p_2$ ,则:

$\lim_{x\to x_0}(f(x)\pm g(x))=p_1\pm p_2$
$\lim_{x\to x_0}(f(x)g(x))=p_1p_2$

若 $\lim_{x\to x_0}f(x)=p_1,\lim_{x\to x_0}f(x)=p_2\ne 0$ ,则:

$\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{p_1}{p_2}$

例2

计算极限(不一定存在极限)

$\lim_{x \to 5} \frac{1}{x-5}$ $x-5\to 0$ ,不存在极限 $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin x}$ $\lim_{x \to 0} \frac{x^2}{\sin x}=\frac{\lim_{x\to 0}x}{\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}}=\frac{0}{1}=0$ $\lim_{x \to \infty} \frac{\sin x}{x}$ 由夹逼定理: $\frac{-1}{|x|}\le \frac{\sin x}{x}\le \frac{1}{|x|}$ 左右极限等于0,所以所求极限为0. $\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 203x}{3x^2 + 5x + 7}$ $\lim_{x \to \infty} \frac{10x^2 + 203x}{3x^2 + 5x + 7}=\lim_{x \to \infty} \frac{10 + 203\frac{1}{x}}{3 + 5\frac{1}{x} + 7\frac{1}{x^2}}=\frac{\lim_{x \to \infty}(10 + 203\frac{1}{x})}{\lim_{x \to \infty}(3 + 5\frac{1}{x} + 7\frac{1}{x^2})}=\frac{10}{3}1$ $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}$ $\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{2\sin^2 \frac{x}{2}}{x^2}=\frac{1}{2}\lim_{x\to 0}(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})=\frac{1}{2}(\lim_{x\to 0}(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}))^2=\frac{1}{2}\times1^2=\frac{1}{2}$

导数

引入

考虑函数 $f(x)=x^2$ ，在 $x=1$ 处，函数的瞬时变化率是多少？

我们先考虑从 $x=1$ 到 $x=1+\Delta x$ 的平均变化率：

$\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\frac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x}=2+\Delta x$

当 $\Delta x\to 0$ 时，平均变化率趋近于 $2$ ，这就是 $f(x)=x^2$ 在 $x=1$ 处的瞬时变化率，即导数.

导数↔微商

微分,即微小变化量.微分之商,称为微商.

定义 $f'(x)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta f}{\Delta x}=\frac{df}{dx}$

导数的定义

若极限

$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$

存在，则称 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，该极限值称为 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的导数，记作 $f'(x_0)$ 或 $\left.\dfrac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_0}$ .

若 $f(x)$ 在定义域上每一点都可导，则称 $f'(x)$ 为 $f(x)$ 的导函数，简称导数.

以上严格定义不是本节重点，重要的是会计算导数.

常见函数的导数

由定义出发，可以推导出以下常用结论：

函数 $f(x)$	导数 $f'(x)$
$C$ （常数）	$0$
$x^n$	$nx^{n-1}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\dfrac{1}{x}$

例：由定义推导 $(x^2)'=2x$

$\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to 0}(2x+\Delta x)=2x$

导数的四则运算法则

法则

设 $f(x),g(x)$ 均可导，则：

加减法则： $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$
乘法法则： $(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$
除法法则： $\left(\dfrac{f(x)}{g(x)}\right)'=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$ ，其中 $g(x)\ne 0$

记忆口诀：乘法法则——"前导后不导，加上前不导后导"；除法法则——"上导下减上下导，除以下的平方".

推导乘法法则

$[f(x)g(x)]'=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x}$

加减同一项 $f(x)g(x+\Delta x)$ ：

$=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\cdot g(x+\Delta x)+f(x)\cdot\frac{g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x}$

$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$

例题

例1

求 $f(x)=x^3\sin x$ 的导数.

由乘法法则：

$f'(x)=(x^3)'\sin x+x^3(\sin x)'=3x^2\sin x+x^3\cos x$

例2

求 $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ 的导数（ $x\ne 0$ ）.

由除法法则：

$f'(x)=\frac{(\sin x)'\cdot x-\sin x\cdot(x)'}{x^2}=\frac{x\cos x-\sin x}{x^2}$

例3

求 $f(x)=e^x(\sin x+\cos x)$ 的导数.

由乘法法则：

$f'(x)=(e^x)'(\sin x+\cos x)+e^x(\sin x+\cos x)'$

$=e^x(\sin x+\cos x)+e^x(\cos x-\sin x)$

$=2e^x\cos x$

例4

求 $f(x)=\tan x$ 的导数.

将 $\tan x=\dfrac{\sin x}{\cos x}$ ，由除法法则：

$(\tan x)'=\frac{(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos^2 x}=\frac{\cos^2 x+\sin^2 x}{\cos^2 x}=\frac{1}{\cos^2 x}=\sec^2 x$

$\boxed{(\tan x)'=\sec^2 x}$

导数的物理应用

$\vec{v}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\vec{x}}{\vec{t}}=\frac{d\vec{r}}{dt}=\dot{\vec{r}}$ $\vec{a}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\vec{v}}{\vec{t}}=\frac{d\vec{v}}{dt}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}$ 点号为牛顿记号,表示对时间求导.

例1

运用导数,求角速度为 $w$ 的匀速圆周运动的速度与加速度的大小. $\begin{cases} x=R\cos wt,\\ y=R\sin wt \end{cases}$ $\begin{cases} v_x=-Rw\sin wt,\\ v_y=Rw\cos wt \end{cases}$ 于是 $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=Rw$ $\begin{cases} a_x=-Rw^2\cos wt,\\ a_y=-Rw^2\sin wt \end{cases}$ 于是 $a=\sqrt{a_x^2+a_y^2}=Rw^2$

例2

alt text 对于这个问题,可以有两种处理方法:

在直角坐标系中分解
在极坐标系中分解

法一

不妨从圆的最上端开始计时: $\begin{cases} y=R-vt,\\ x=\sqrt{R^2-y^2}=\sqrt{R^2-(R-vt)^2} \end{cases}$ $\begin{cases} v_y=\dot{y}=-v,\\ v_x=\dot{x}\\=\frac{1}{2}(R^2-(R-vt)^2)^\frac{-1}{2}[R^2-(R-vt)^2]'\\=\frac{1}{2}(R^2-(R-vt)^2)^\frac{-1}{2}(-1)(-v)'2(R-vt)\\ =(R^2-(R-vt)^2)^\frac{-1}{2}(R-vt)v\\ =\frac{vy}{x}=\frac{v}{\tan \theta} \end{cases}$ 所以 $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2}=\frac{v}{\sin \theta}$ (由速度分解易得) $\begin{cases} a_y=0,\\ a_x=(v\frac{y(t)}{x(t)})'=v\frac{y'x-yx'}{x^2}=v\frac{xv_y-yv_x}{x^2}=-v^2\frac{x^2+y^2}{x^3}=-v^2\frac{1}{R\sin^3\theta} \end{cases}$ 这里需要注意一个常见错误:

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修正之后,就得到了:

法二