天体运动:万有引力定律

历史

历史上,托勒密提出了地心说,认为地球是宇宙的中心.

后来,哥白尼通过天文观测等事实证据,提出了日心说(西方人往往认为哥白尼/伽利略等人是科学的鼻祖)

一般来讲,科学研究的一般过程是:

$$\begin{gathered} \text{事实证据/观测}\longrightarrow \text{理论}\longrightarrow \text{实验} \end{gathered}$$

第谷为了证明地心说,进行了大量观测,并委任徒弟开普勒进行数学证明. 第谷死后,开普勒利用第谷的数据发现了开普勒三定律,这与第谷的本意 背道而驰

开普勒三定律

• 第一定律(轨道定律):行星绕太阳运动的轨迹为椭圆,太阳在椭圆的一个焦点上
• 第二定律(面积定律):行星绕太阳单位时间扫过的面积相同
• 第三定律(周期定律):绕太阳运动的行星,若设其半长轴为$a$,太阳质量为$M$,则$\frac{a^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}$

开普勒第二定律

开普勒第二定律本质上是有心力作用下角动量L守恒的体现:

由于万有引力是有心力,太阳/行星系统 所受的合外力力矩为零,所以有 $$\begin{gathered} L=\vec{r}\times\vec{p}=m\vec{r}\times\vec{v}=C\\ \delta=\frac{dS}{dt}=\frac{\frac{1}{2}rvdt\sin\theta}{dt}=\frac{1}{2}|\vec{r}\times\vec{v}|=\frac{1}{2}C \end{gathered}$$

结论:角动量守恒与开普勒第二定律等价(本质上<->充要条件)

开普勒第三定律

这里给出不严密的证明:

设椭圆轨道退化为圆,则半长轴退化为轨道半径

$$\begin{gathered} \frac{GMm}{R^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}R\\ \frac{R^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2} \end{gathered}$$

一:北极星视角

从北极星看地球,地球逆时针自转,绕太阳逆时针公转

在北半球的夏至日,地球反而在远日点;在北半球的冬至日,地球反而在近日点.

温度的差异主要来自于太阳高度角

由开普勒第二定律,不难得出$S_{DAB}\lt S_{BCD},t_{DAB}\lt t_{BCD}$

二:万有引力定律

对于质量分别为$M,m$的两质点: $$\boxed{F=\frac{GMm}{r^2}}$$ $$G=6.67\times 10^{-11}N\cdot m^2\cdot kg^{-2}$$ 其中$M,m$质量定义可由惯性定义导出,也可有引力定义导出

非质点的情况如下图:

质点和均匀球壳

设均匀球壳的面密度$\rho$,我们考虑质元的配对:

$$\begin{gathered} F_1=\frac{G\rho S_1m}{r_1^2}\\ F_2=\frac{G\rho S_2m}{r_2^2}\\ \frac{S_1}{S_2}=\frac{r_1^2}{r_2^2}\\ F_1=F_2 \end{gathered}$$

可见所有球壳微元对内部质点的引力合力为0.

例1

对于总质量为M,半径为R的均质球A,以半径R为直径切出一个小球B,放在大球右侧,使得B的圆心在被切除的半径所在直线上,两者最接近的两点距离为R,求A,B间的作用力

考虑补全A为一个假想球A':

$$F=\frac{GM\frac{M}{8}}{(\frac{5}{2}R)^2}-\frac{G\frac{M}{8}\frac{M}{8}}{(2R)^2}$$

例2

计算近地卫星,同步卫星,赤道上居民的运动参量:

$$\begin{gathered} \frac{GMm}{R^2}=m\frac{4\pi^2}{T_{\text{近}}^2}R\\ T_{\text{近}}=84min \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \frac{GMm}{R_{\text{同}}^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}R_{\text{同}}\\ R_{\text{同}}\approx 7R \end{gathered}$$

对于赤道上的居民,情况有所不同: $$\begin{gathered} \frac{GMm}{R^2}-N=m\frac{4\pi^2}{T^2}R\\ N=G=mg=\frac{GMm}{R^2}-m\frac{4\pi^2}{T^2}R \end{gathered}$$

从这一点上看,重力G是万有引力的分力.

体重秤从来不能反映人所受的万有引力(除非您是一头站在北极点的polar bear),体重秤显示的是视重N

估算一下我在赤道上所受向心力的大小:

$$\begin{gathered} F_n=m\frac{4\pi^2}{T^2}R\\=75\frac{4\pi^2}{(86400)^2}(6400\times10^3)\approx 2.5N \end{gathered}$$

相比于近似750N的重力,向心力微不足道.

如果我不在赤道上,那么为了保持绕地轴做圆周运动,我还会受到地面的摩擦力f.

容易知道,纬度越高,视重越接近万有引力,重力加速度更大.

(此处应该有弹簧秤侦探小故事?)

总之,如果忽略地球自转,有:

$$\begin{gathered} \frac{GMm}{R^2}=mg\\ GM=gR^2 \end{gathered}$$

国外的教材称之为Golden Rule,中国人因此称之为黄金代换(到底黄金在哪里呢?)

例3

设近地卫星周期为T,求地球的平均密度$\rho$

$$\begin{gathered} \frac{GMm}{R^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}R\\ \frac{M}{R^3}=\frac{4\pi^2}{GT^2}=\frac{4}{3}\pi\rho\\ \rho=\frac{3\pi}{GT^2} \end{gathered}$$

例3'

中子星脉冲的周期约为$T=\frac{1}{30}s$,估算其密度 $$\rho=\frac{3\pi}{GT^2}\approx 1.3\times10^{15}kg/m^3$$

例4

将一个质点从地表上方R处(R为地球半径)释放,求到达地面的时间$t$.

不难看出,释放瞬间$a_0=\frac{1}{4}g$,落地时$a_t=g$,显然此时不能使用匀加速运动公式.

椭圆有两种退化的结果:

• 圆($e\to 0$)
• 线段($e\to 1$)

例4的情况相当于椭圆退化为线段($e\to 1,a\to R$),那么便可以运用开普勒第二/三定律求运动时间.

以下是我们所知的所有相关公式: $$\begin{gathered} \delta=\frac{dS}{dt}\\ T=\frac{S}{\delta}\\ S=\pi ab\\ \frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{GM} \end{gathered}$$

于是可以得到: $$\begin{gathered} T=\sqrt{\frac{4\pi^2R^3}{GM}}\\ \frac{t}{T}=\frac{S'}{S}\\ S'=\frac{1}{4}\pi ab+\frac{1}{2}ab,S=\pi ab\\ t=T\frac{\pi+2}{4\pi}=\frac{\pi+2}{4\pi}\sqrt{\frac{4\pi^2R^3}{GM}}\\ =\frac{\pi+2}{2}\sqrt{\frac{R^3}{GM}} \end{gathered}$$

例5(4+)

两个质量分别为$m_1,m_2$的质点,距离为$L$,二者同时由静止释放,求二者相遇所用时间$t$.

不难看出,系统所受合外力为0,二者质心静止不动,且二者相撞之处为质心.

法一:根据相对加速度,得出一个折合质量.

法二:等效法

由质心定义:$m_1x_1=m_2x_2$,其中$x_1,x_2$为两质点到质心的距离.

记$F_{ab}$是a受到b的力,则:

$$\begin{gathered} F_{12}=\frac{Gm_1m_2}{(x_1+x_2)^2}=\frac{Gm_1m_2}{(x_1+\frac{m_1}{m_2}x_1)^2}\\ =\frac{G\frac{m_2^3}{(m_1+m_2)^2}m_1}{x_1^2} \end{gathered}$$

那么,$m_1$所受$m_2$的引力可以视为O点处质量为$\frac{m_2^3}{(m_1+m_2)^2}$的质点对$m_1$的引力.

于是,例5转化为了例4的closed case.

$m_1$初始到质心的距离$d_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}L$

由开普勒第二/三定律 $$\begin{gathered} \frac{(\frac{d_1}{2})^3}{T^2}=\frac{GM}{4\pi^2}\\ T=\sqrt{\frac{4\pi^2(\frac{d_1}{2})^3}{GM}}=\pi\sqrt{\frac{d_1^3}{2GM}}\\ t=\frac{1}{2}T=\pi \sqrt{\frac{(\frac{m_2}{m_1+m_2}L)^3}{8G(\frac{m_2^3}{(m_1+m_2)^2})}}\\ =\pi\sqrt{\frac{L^3}{8G(m_1+m_2)}} \end{gathered}$$

例6

半椭圆轨道的半长轴$a=\frac{R_m+R_0}{2}=1.25R_0$

稍加分析,可知探测器与火星间的角距离$\alpha$不断缩小.

那么,我们只需要让火星运行$\pi-\alpha$角度和探测器运动$\pi$角度的时间相同即可.

为了叙述方便,把地球,火星,探测器分别称为(e)arth,(m)ars,(r)over $$\begin{gathered} T_e=365 day\\ T_m=T_e\sqrt{1.5^3}=671 day\\ T_r=T_e\sqrt{1.25^3}=510 day\\ \frac{1}{2}T_r=255 day\\ \frac{\pi-\alpha}{2\pi}T_m=\frac{1}{2}T_r\\ \alpha=\frac{161}{671}\pi\\ \frac{\pi}{3}-\alpha=(\frac{2\pi}{T_e}-\frac{2\pi}{T_m})t\\ t\approx 37day \end{gathered}$$

3月1日零时往后推30天为3月31日零时,后推37天则是4月7日零时.

故4月7日点火.

双星问题

设两个质量均为$m$的质点之间的运动达到稳定,二者距离为$l$,系统合外力为0,动量守恒,质心不动.

$$\begin{gathered} G\frac{mm}{l^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}\frac{l}{2}\\ T=2\pi\sqrt{\frac{l^3}{G(2m)}} \end{gathered}$$

一般地,若两质点质量分别为$m_1,m_2$,则质心到$m_1$距离为$\frac{m_2}{m_1+m_2}l$

$$\begin{gathered} G\frac{m_1m_2}{l^2}=m_1\frac{4\pi^2}{T^2}\frac{m_2}{m_1+m_2}l\\ T=2\pi\sqrt{\frac{l^3}{G(m_1+m_2)}} \end{gathered}$$

三星问题

情况一

$$\frac{Gmm}{r^2}+\frac{Gmm}{(2r)^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}r$$

情况二

$$2\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{Gmm}{(\sqrt{3}r)^2}=m\frac{4\pi^2}{T^2}r$$

三:天体能量

引力势能

设无穷远处为势能零点,则质量为$M,m$的质点之间引力势能为:

$$\boxed{E=-\frac{GMm}{r}=-W}$$

其中,$W$是$m$从无穷远点运动到$r$处引力做的功.

证明

$$\begin{gathered} W=\int_{\infty}^{r}\frac{GMm}{r^2}dr=\frac{GMm}{r} \end{gathered}$$

这是一个典型的反常积分

或者考虑微元法累加:

$$\begin{gathered} \Delta W_1=\frac{GMm}{r_1r_2}(r_2-r_1)=GMm(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2})\\ \Delta W_2=\frac{GMm}{r_2r_3}(r_3-r_2)=GMm(\frac{1}{r_2}-\frac{1}{r_3})\\ ...\\ \sum \Delta W=GMm(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_n})\\ =\int_{\infty}^{r}\frac{GMm}{r^2}dr=\frac{GMm}{r} (r_1\to \infty,r_n=r) \end{gathered}$$

椭圆轨道总能量

证明:椭圆轨道的总能量

$$\boxed{E=E_k+E_p=-\frac{GMm}{2a}}$$

根据机械能守恒,只要算出轨道上任意一点的机械能即可.

设近日点(n)ear速度为$v_n$,远日点(f)ar速度为$v_f$.

$$\begin{gathered} E=\frac{1}{2}mv_n^2+(-\frac{GMm}{a-c})\\ =\frac{1}{2}mv_f^2+(-\frac{GMm}{a+c})\\ L=mv_n(a-c)=mv_f(a+c)\\ \Longrightarrow \frac{1}{2}mv_f^2(\frac{a+c}{a-c})^2+(-\frac{GMm}{a-c})=\frac{1}{2}mv_f^2+(-\frac{GMm}{a+c})\\ \Longrightarrow \begin{cases} v_f^2=GM(\frac{a-c}{a+c})\frac{1}{a},\\ v_n^2=GM(\frac{a+c}{a-c})\frac{1}{a} \end{cases}\\ E=\frac{1}{2}mGM(\frac{a+c}{a-c})\frac{1}{a}+(-\frac{GMm}{a+c})\\ =-\frac{GMm}{2a} \end{gathered}$$

显然,在各种圆锥曲线中,椭圆(闭合曲线)的能量最小,不闭合的曲线能量更大.

• 椭圆:$E\lt0$
• 抛物线:$E=0$
• 双曲线:$E=\frac{GMm}{2a}\gt0$

四:宇宙速度

宇宙速度:从地球表面发射卫星为达到不同效果而需要的不同初速度

第一宇宙速度

$v_1$=7.9km/s,又称环绕速度

$$\frac{GMm}{R^2}=m\frac{v_1^2}{R},v_1=\sqrt{gr}$$

第二宇宙速度

$v_2=11.2km/s$,又称脱离速度

$$E=\frac{1}{2}mv_2^2+(-\frac{GMm}{R})=0,v_2=\sqrt{2gr}=\sqrt{2}v_1$$

第三宇宙速度

$v_3=16.7km/s$,又称逃逸速度

相对于太阳离开到无穷远(先离开地球,再离开太阳)

第一步的机械能守恒以地球(e)arth为系,第二步以太阳(s)un为系.

$$\begin{gathered} \frac{1}{2}mv_3^2-\frac{GM_em}{R}=\frac{1}{2}mv_3'^2\\ \frac{1}{2}m(v_3'+v_e)^2+(-\frac{GM_sm}{R_s})=0 \end{gathered}$$

例7

不计地球自转,从赤道上发射一颗导弹,使之能击中北极点,求最小发射速度.

已知:$G$,地球半径$R$,地球质量$M$

$$\begin{gathered} E=(-\frac{GMm}{R})+\frac{1}{2}mv_0^2\\ v_{min}\leftarrow E_{min}\leftarrow \frac{-GMm}{2a}\leftarrow a_{min}\\ \end{gathered}$$

由椭圆的第一定义,$2a_{min}=(1+\frac{\sqrt{2}}{2})R$

$$\begin{gathered} E=(-\frac{GMm}{R})+\frac{1}{2}mv_{min}^2=-\frac{GMm}{(1+\frac{\sqrt{2}}{2})R} \end{gathered}$$

于是不难看出:

• 近地导弹不是初速度最小的方案
• 如果初速度小于$v_1$,则$2a\lt R$,椭圆轨道必定与地球相交

写在最后

回头看看,这一路从第谷的执拗、开普勒的"背叛",走到了三大宇宙速度.

如果要把整篇浓缩成几句话:

• 开普勒第二定律 的本质是角动量守恒,第三定律 则在圆轨道近似下一眼可证;
• 均匀球壳对内部质点引力为零,对外部则等效于质心处的一个质点——这是处理一切球体引力的钥匙;
• 重力只是万有引力的一个分力,体重秤量的从来是 视重(除非您真是北极点上那头 polar bear);
• 黄金代换 $GM=gR^2$ 几乎贯穿所有估算,虽然黄金到底在哪还是个谜;
• 椭圆轨道总能量 $E=-\frac{GMm}{2a}$ 只和半长轴有关,于是椭圆退化成线段时,自由落体、双星相遇这类"看似不能用匀加速"的问题,都能被开普勒定律一网打尽;
• 三大宇宙速度 $v_1:v_2:v_3=7.9:11.2:16.7$,分别对应环绕、脱离、逃逸——而最小发射速度的方案,往往不是你以为的那条近地轨道.

万有引力把苹果和行星写进了同一个公式里.下次抬头看见远日点的夏天,大概就能会心一笑了.